Kombinasjonen av bokstaver, tegn og tall i matematiske operasjoner er kjent som algebraiske uttrykk. Vanligvis representerer bokstavene ukjente størrelser og kalles variabler eller ukjente. Algebraiske uttrykk tillater oversettelser til matematiske språkuttrykk for vanlig språk. Algebraiske uttrykk stammer fra plikten til å oversette ukjente verdier til tall som er representert med bokstaver. Grenen av matematikk som er ansvarlig for studiet av disse uttrykkene der tall og bokstaver vises, samt tegn på matematiske operasjoner, er Algebra.
Hva er algebraiske uttrykk
Innholdsfortegnelse
Som nevnt tidligere er disse operasjonene ikke mer enn kombinasjonen av bokstaver, tall og tegn som senere blir brukt i forskjellige matematiske operasjoner. I algebraiske uttrykk har bokstaver oppførsel av tall, og når de tar det kurset, brukes mellom en og to bokstaver.
Uansett hvilket uttrykk du har, er det første å gjøre å forenkle, dette oppnås ved å bruke egenskapene til operasjonen (e), som tilsvarer de numeriske egenskapene. For å finne den numeriske verdien til en algebraisk operasjon, må du erstatte et bestemt tall for bokstaven.
Mange øvelser kan gjøres på disse uttrykkene, og de vil bli gjort i denne delen for å forbedre forståelsen av det aktuelle emnet.
Eksempler på algebraiske uttrykk:
- (X + 5 / X + 2) + (4X + 5 / X + 2)
X + 5 + 4X + 5 / X + 2
5X + 10 / X + 2
5 (X + 2) / X + 2
5
- (3 / X + 1) - (1 / X + 2)
3 (X + 2) - X - 1 / (X + 1) * (X + 2)
2X - 5 / X ^ 2 + 3X + 2
Algebraisk språk
Det algebraiske språket er et som bruker symboler og bokstaver for å representere tall. Hovedfunksjonen er å etablere og strukturere et språk som hjelper til med å generalisere de forskjellige operasjonene som foregår innen aritmetikk der bare tall og deres elementære aritmetiske operasjoner (+ -x%) forekommer.
Det algebraiske språket tar sikte på å etablere og designe et språk som hjelper til med å generalisere de forskjellige operasjonene som er utviklet innen aritmetikk, der bare tall og deres grunnleggende matematiske operasjoner brukes: addisjon (+), subtraksjon (-), multiplikasjon (x) og divisjon (/).
Det algebraiske språket er preget av presisjon, siden det er mye mer konkret enn det numeriske språket. Gjennom det kan setninger uttrykkes kort. Eksempel: settet med multipler på 3 er (3, 6, 9, 12…) uttrykkes 3n, hvor n = (1, 2, 3, 4…).
Den lar deg uttrykke ukjente tall og utføre matematiske operasjoner med dem. Eksempel, summen av to tall uttrykkes slik: a + b. Støtter uttrykk for generelle numeriske egenskaper og sammenhenger.
Eksempel: kommutativ egenskap uttrykkes slik: axb = bx a. Når du skriver på dette språket, kan ukjente størrelser manipuleres med enkle symboler for å skrive, slik at forenkling av teoremer, formulering av ligninger og ulikheter og studiet av hvordan du løser dem.
Algebraiske tegn og symboler
I algebra brukes både symboler og tegn i mengdeori, og disse utgjør eller representerer ligninger, serier, matriser, etc. Bokstavene blir uttrykt eller navngitt som variabler, siden den samme bokstaven brukes i andre problemer, og verdien har forskjellige variabler. Blant noen av klassifiseringsalgebraiske uttrykk er følgende:
Algebraiske brøker
En algebraisk brøkdel er kjent som en som er representert av kvotienten til to polynomer som viser en oppførsel som ligner på numeriske brøker. I matematikk kan du operere med disse brøkene ved å gjøre multiplikasjon og deling. Derfor må det uttrykkes at den algebraiske fraksjonen representeres av kvotienten til to algebraiske uttrykk der telleren er utbyttet og nevneren deler.
Blant egenskapene til algebraiske brøker kan det fremheves at hvis nevneren deles eller multipliseres med samme størrelse som ikke er null, vil ikke brøkdelen endres. Å forenkle en algebraisk brøkdel består i å transformere den til en brøkdel som ikke lenger kan reduseres, og være nødvendig for å faktorisere polynomene som utgjør teller og nevner.
Klassifisering algebraiske uttrykk gjenspeiles i følgende typer: ekvivalent, enkel, korrekt, upassende, sammensatt av teller eller nullnevner. Så får vi se hver av dem.
Ekvivalenter
Dette aspektet blir møtt når kryssproduktet er det samme, det vil si når resultatet av brøkene er det samme. For eksempel vil disse to algebraiske brøkene: 2/5 og 4/10 være ekvivalente hvis 2 * 10 = 5 * 4.
Enkel
De er de der teller og nevner representerer heltall rasjonelle uttrykk.
Egen
De er enkle brøker der telleren er mindre enn nevneren.
Upassende
De er enkle brøker der telleren er lik eller større enn nevneren.
Sammensatte
De dannes av en eller flere brøker som kan være plassert i telleren, nevneren eller begge deler.
Null teller eller nevner
Oppstår når verdien er 0. I tilfelle å ha en 0/0 brøkdel, vil den være ubestemt. Når du bruker algebraiske brøker for å utføre matematiske operasjoner, må noen egenskaper ved operasjoner med numeriske brøker tas i betraktning, for eksempel for å starte, må det minste vanlige multiplumet bli funnet når nevnerne har forskjellige sifre.
I både deling og multiplikasjon utføres operasjoner og utføres på samme måte som med numeriske brøker, siden disse må forenkles tidligere når det er mulig.
Monomials
Monomialer er mye brukt algebraiske uttrykk som har en konstant som kalles koeffisienten og en bokstavelig del, som er representert med bokstaver og kan heves til forskjellige krefter. For eksempel har monomialet 2x² 2 som koeffisient og x² er den bokstavelige delen.
Ved flere anledninger kan den bokstavelige delen bestå av en multiplikasjon av ukjente, for eksempel i tilfelle 2xy. Hver av disse bokstavene kalles ubestemt eller variabel. Et monomial er en type polynom med et enkelt begrep, i tillegg er det muligheten for å være foran lignende monomialer.
Elementer av monomier
Gitt monomialet 5x ^ 3; Følgende elementer skilles ut:
- Koeffisient: 5
- Bokstavelig del: x ^ 3
Produktet av monomials er koeffisienten, som refererer til tallet som vises ved å multiplisere den bokstavelige delen. Vanligvis plasseres den i begynnelsen. Hvis produktet av monomials har verdien 1, skrives det ikke, og det kan aldri være null, siden hele uttrykket ville ha verdien null. Hvis det er en ting å vite om monomiale øvelser, er det at:
- Hvis et monomial mangler en koeffisient, er det lik en.
- Hvis et begrep ikke har noen eksponent, er det lik en.
- Hvis noen bokstavelig del ikke er til stede, men er påkrevd, blir den vurdert med en eksponent på null.
- Hvis ikke noe av dette stemmer overens, så står du ikke overfor monomiale øvelser, du kan til og med si at den samme regelen eksisterer med øvelsene mellom polynomer og monomier.
Tilsetning og subtraksjon av monomer
For å kunne utføre summer mellom to lineære monomer er det nødvendig å beholde den lineære delen og legge til koeffisientene. I subtraksjonene av to lineære monomialer, må den lineære delen opprettholdes, som i summer, for å kunne trekke koeffisientene, deretter multipliseres koeffisientene og eksponentene legges til med de samme basene.
Multiplikasjon av monomier
Det er et monomial hvis koeffisient er produktet eller resultatet av koeffisientene, som har en bokstavelig del som er oppnådd gjennom multiplikasjon av krefter som har nøyaktig samme base.
Inndeling av monomer
Det er ikke noe annet enn et annet monomial hvis koeffisient er kvotienten til de koeffisientene som oppnås, som i tillegg har en bokstavelig del oppnådd fra inndelingene mellom maktene som har nøyaktig samme base.
Polynomer
Når vi snakker om polynomer, refererer vi til en algebraisk operasjon av addisjon, subtraksjon og ordnet multiplikasjon laget av variabler, konstanter og eksponenter. I algebra kan et polynom ha mer enn en variabel (x, y, z), konstanter (heltall eller brøker) og eksponenter (som bare kan være positive heltall).
Polynomier består av endelige termer, hvert begrep er et uttrykk som inneholder ett eller flere av de tre elementene som de er laget med: variabler, konstanter eller eksponenter. For eksempel: 9, 9x, 9xy er alle termer. En annen måte å identifisere begrepene på er at de er atskilt med addisjon og subtraksjon.
For å løse, forenkle, legge til eller trekke fra polynomer, må du slutte deg til begrepene med de samme variablene som for eksempel begrepene med x, begrepene med "y" og begrepene som ikke har variabler. Det er også viktig å se på tegnet før begrepet som vil avgjøre om du skal legge til, trekke fra eller multiplisere. Begreper med samme variabler er gruppert, lagt til eller trukket.
Typer av polynomer
Antall termer som et polynom har, vil indikere hvilken type polynom det er, for eksempel hvis det er et ensidig polynom, så står det overfor et monomium. Et tydelig eksempel på dette er en av polynomøvelsene (8xy). Det er også to-term polynom, som kalles en binomial og er identifisert av følgende eksempel: 8xy - 2y.
Til slutt polynomet til tre termer, som er kjent som trinomials og identifiseres av en av polynomene, øvelser 8xy - 2y + 4. Trinomials er en type algebraisk uttrykk dannet av summen eller forskjellen på tre termer eller monomials (lignende monomials).
Det er også viktig å snakke om graden av polynomet, for hvis det er en enkelt variabel, er det den største eksponenten. Graden av et polynom med mer enn en variabel bestemmes av begrepet med størst eksponent.
Tilsetning og subtraksjon av polynomer
Å legge til polynomer innebærer å kombinere termer. Lignende uttrykk refererer til monomier som har samme variabel eller variabler hevet til samme kraft.
Det er forskjellige måter å utføre polynomberegninger på, inkludert summen av polynomer, som kan gjøres på to forskjellige måter: horisontalt og vertikalt.
- Tilsetning av polynomer horisontalt: det brukes til å utføre operasjoner horisontalt, redundans er verdt, men først skrives et polynom og deretter følges det på samme linje. Etter det skrives det andre polynomet som skal legges til eller trekkes fra, og til slutt grupperes de samme begrepene.
- Vertikal sum av polynomer: det oppnås ved å skrive det første polynomet på en ordnet måte. Hvis dette er ufullstendig, er det viktig å la hullene i de manglende vilkårene være frie. Deretter blir neste polynom skrevet like under den forrige, på denne måten vil begrepet som ligner på det ovenfor være under. Til slutt legges hver kolonne til.
Det er viktig å legge til at for å legge til to polynomer må koeffisientene til vilkårene i samme grad legges til. Resultatet av å legge til to termer av samme grad er et annet begrep av samme grad. Hvis noen begreper mangler i noen av gradene, kan den fullføres med 0. Og de er generelt ordnet fra høyeste til laveste grad.
Som nevnt ovenfor, er det bare nødvendig å legge til vilkårene i samme grad for å utføre summen av to polynomer. Egenskapene til denne operasjonen består av:
- Assosiative egenskaper: hvor summen av to polynomer løses ved å legge til koeffisientene som følger med x-ene som stiger til samme kraft.
- Kommutativ eiendom: som endrer rekkefølgen på tillegget, og resultatet kan ikke trekkes ut. De nøytrale elementene, som alle har koeffisientene lik 0. Når et polynom legges til det nøytrale elementet, er resultatet lik det første.
- Motsatt egenskap: dannet av polynomiet som har alle de inverse koeffisientene til de samlede polynomkoeffisientene. således, når resultatet av tilleggsoperasjonen er null polynom.
Når det gjelder subtraksjon av polynomer, (operasjoner med polynomer), er det viktig å gruppere monomer etter egenskapene de har og begynne med forenkling av de som var like. Operasjonene med polynomer utføres ved å legge til det motsatte av subtrahend til minuend.
En annen effektiv måte å fortsette med å trekke fra polynomer er å skrive det motsatte av hvert polynom under det andre. Dermed forblir lignende monomier i kolonner, og vi fortsetter å legge dem til. Uansett hvilken teknikk som utføres, til slutt vil resultatet alltid være det samme, selvfølgelig, hvis det gjøres riktig.
Multiplikasjon av polynomer
Multiplikasjon av monomier eller øvelser mellom polynomer og monomier, det er en operasjon som utføres for å finne det resulterende produktet, mellom et monomial (algebraisk uttrykk basert på multiplikasjon av et tall og en bokstav hevet til et positivt heltall eksponent) og en annen uttrykk, hvis dette er et uavhengig begrep, et annet monomium eller til og med et polynom (endelig sum av monomialer og uavhengige termer).
Imidlertid, som med nesten alle matematiske operasjoner, har multiplikasjonen av polynomer også en rekke trinn som må følges når du løser den foreslåtte operasjonen, som kan oppsummeres i følgende prosedyrer:
Det første du må gjøre er å multiplisere monomialet med uttrykket (multiplisere tegnene på hvert av begrepene). Deretter multipliseres koeffisientverdiene, og når verdien blir funnet i den operasjonen, legges bokstavene til monomene som er funnet i vilkårene. Deretter blir hvert resultat skrevet ned i alfabetisk rekkefølge, og til slutt blir hver eksponent lagt til, som er plassert i grunnbokstavene.
Polynomdivisjon
Også kjent som Ruffini-metoden. Det lar oss dele et polynom med et binomium, og lar oss også finne røttene til et polynom for å faktorisere det i binomaler. Med andre ord gjør denne teknikken det mulig å dele eller spalte et algebraisk polynom av grad n, i et algebraisk binomium, og deretter til et annet algebraisk polynom av grad n-1. Og for at dette skal være mulig, er det nødvendig å kjenne til eller kjenne minst en av røttene til det unike polynomet, for at separasjonen skal være nøyaktig.
Det er en effektiv teknikk å dele et polynom med et binomium av formen x - r. Ruffinis regel er et spesielt tilfelle av syntetisk deling når deleren er en lineær faktor. Ruffinis metode ble beskrevet av den italienske matematikeren, professoren og legen Paolo Ruffini i 1804, som i tillegg til å oppfinne den berømte metoden kalt Ruffinis regel, som hjelper til med å finne koeffisientene til resultatet av fragmenteringen av et polynom av binomial; Han oppdaget og formulerte også denne teknikken på den omtrentlige beregningen av ligningens røtter.
Som alltid, når det gjelder en algebraisk operasjon, involverer Ruffinis regel en rekke trinn som må oppfylles for å komme til ønsket resultat, i dette tilfellet: finn kvotienten og resten som ligger i delingen av enhver form for polynom og en binomial av form x + r.
Først og fremst må uttrykkene gjennomgås for å verifisere eller avgjøre om de virkelig blir behandlet som polynomer og binomaler som svarer på den forventede formen ved hjelp av Ruffini Rule-metoden når du starter operasjonen.
Når disse trinnene er bekreftet, blir polynomet bestilt (i synkende rekkefølge). Etter dette trinnet blir bare koeffisientene til polynomets vilkår (opp til den uavhengige) tatt i betraktning, og plasserer dem i en rad fra venstre til høyre. Noen mellomrom er igjen for vilkårene som trengs (bare i tilfelle et ufullstendig polynom). Bysseskiltet er plassert til venstre på raden, som består av koeffisienter for utbyttepolynomet.
I venstre del av galleriet fortsetter vi med å plassere den uavhengige betegnelsen på binomialet, som nå er en skiller og dets tegn er invers. Det uavhengige multipliseres med den første koeffisienten til polynomet, og registreres dermed i en andre rad under den første. Deretter trekkes den andre koeffisienten og produktet av den uavhengige monomiale termen av den første koeffisienten.
Binomialets uavhengige term multipliseres med resultatet av forrige subtraksjon. Men også, den er plassert i andre rad, som tilsvarer den fjerde koeffisienten. Operasjonen gjentas til alle vilkår er nådd. Den tredje raden som er oppnådd basert på disse multiplikasjonene blir tatt som et kvotient, med unntak av den siste perioden, som vil bli betraktet som resten av inndelingen.
Resultatet uttrykkes, ledsager hver koeffisient av variabelen og graden som tilsvarer den, og begynner å uttrykke dem med en lavere grad enn den de opprinnelig hadde.
- Resten teorem: det er en praktisk metode som brukes til å dele et polynom P (x) med en annen hvis form er xa; der bare verdien av resten oppnås. For å bruke denne regelen følges følgende trinn. Polynomutbyttet skrives uten å fullføre eller bestille, deretter blir variabelen x av utbyttet erstattet med den motsatte verdien av den uavhengige termen til deleren. Og til slutt løses operasjonene i kombinasjon.
Resten av setningen er en metode som vi kan oppnå resten av en algebraisk inndeling, men der det ikke er nødvendig å gjøre noen inndeling.
- Ruffinis metode: Ruffinis metode eller regel er en metode som lar oss dele et polynom med et binomium, og lar oss også finne røttene til et polynom for å faktorere i binomaler. Med andre ord gjør denne teknikken det mulig å dele eller spalte et algebraisk polynom av grad n, i et algebraisk binomium, og deretter til et annet algebraisk polynom av grad n-1. Og for at dette skal være mulig, er det nødvendig å kjenne til eller kjenne minst en av røttene til det unike polynomet, for at separasjonen skal være nøyaktig.
- Røtter av polynomer: Røttene til et polynom er visse tall som gjør et polynom verdt null. Vi kan også si at de fullstendige røttene til et polynom av heltallskoeffisienter vil være delere av det uavhengige begrepet. Når vi løser et polynom som er lik null, får vi polynomets røtter som løsninger. Som egenskaper til røttene og faktorene til polynomer kan vi si at nullene eller røttene til et polynom er ved skillene til det uavhengige begrepet som tilhører polynomet.
Dette gjør at vi kan finne ut resten av divisjonen av et polynom p (x) med en annen av formen xa, for eksempel. Fra denne teorem følger det at et polynom p (x) kun kan deles med xa hvis a er roten til polynomet, bare hvis og bare hvis p (a) = 0. Hvis C (x) er kvotienten og R (x) er resten av divisjonen av et hvilket som helst polynom p (x) med et binomium som ville være (xa) den numeriske verdien til p (x), for x = a er det lik resten av dets divisjon med xa.
Så vil vi si at: nP (a) = C (a) • (a - a) + R (a) = R (a). Generelt er det mer praktisk å bruke Ruffinis regel enn å erstatte x for å oppnå resten av en divisjon med Xa. Derfor er resten av setningen den mest egnede metoden for å løse problemer.
I den matematiske verdenen er Ruffinis regel en effektiv teknikk for å dele et polynom med et binomium av formen x - r. Ruffinis regel er et spesielt tilfelle av syntetisk deling når deleren er en lineær faktor.
Ruffinis metode ble beskrevet av den italienske matematikeren, professoren og legen Paolo Ruffini i 1804, som i tillegg til å oppfinne den berømte metoden kalt Ruffinis regel, som hjelper til med å finne koeffisientene til resultatet av fragmenteringen av et polynom av binomial; Han oppdaget og formulerte også denne teknikken på den omtrentlige beregningen av ligningens røtter.
For hver rot, for eksempel, av typen x = a tilsvarer et binomium av typen (xa). Det er mulig å uttrykke et polynom i faktorer hvis vi uttrykker det som et produkt eller av alle binomaler av typen (xa) som tilsvarer røttene, x = a, det resultatet. Det bør tas i betraktning at summen av eksponentene til binomialene er lik graden av polynomet, det bør også tas i betraktning at ethvert polynom som ikke har et uavhengig begrep, vil innrømme som rot x = 0, på en annen måte vil det innrømme som X Faktor.
Vi vil kalle et polynom "prime" eller "Irreducible" når det ikke er noen mulighet for å faktorisere det.
For å fordype oss i emnet, må vi være tydelige med algebraens grunnleggende setning, som sier at det er nok at et polynom i en ikke-konstant variabel og kompleks koeffisient har like mange røtter som sin grad, siden røttene har sine mangfold. Dette bekrefter at enhver algebraisk ligning av grad n har n komplekse løsninger. Et polynom av grad n har maksimalt n reelle røtter.
Eksempler og øvelser
I denne delen vil vi plassere noen algebraiske uttrykk løste øvelser for hvert av emnene som dekkes i dette innlegget.
Øvelser med algebraiske uttrykk:
- X ^ 2 - 9 / 2X + 6
(X + 3) * (X - 3) / 2 * (X + 3)
X - 3/2
- X ^ 2 + 2X + 1 / X ^ 2 - 1
(X + 1) ^ 2 / (X + 1) * (X - 1)
X + 1 / X - 1
Summen av polynomer
- 2x + 3x + 5x = (2 + 3 + 5) x = 10 x
- P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) + Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) + (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 3 × 2) + (5x-6x) + (-6 + 3) = 5 × 2-x-3
Subtraksjon av polynomer
P (x) = 2 × 2 + 5x-6
Q (x) = 3 × 2-6x + 3
P (x) -Q (x) = (2 × 2 + 5x-6) - (3 × 2-6x +3) = (2 × 2 + 5x-6) + (-3 × 2 + 6x-3) = (2 × 2-3 × 2) + (5x + 6x) + (-6-3) = -x2 + 11x-9
Polynomdivisjon
- 8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
- 15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 og
- 12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6
- -6 v2.c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Algebraiske uttrykk (binomial kvadrat)
(x + 3) 2 = x 2 + 2 • x • 3 + 32 = x 2 + 6 x + 9
(2x - 3) 2 = (2x) 2 - 2 • 2x • 3 + 32 = 4 × 2 - 12 x + 9
Resten setning
(x4 - 3 × 2 + 2):(x - 3)
R = P (3) = 34 - 3 • 32 + 2 = 81 - 27 + 2 = 56
Multiplikasjon av monomier
axnbxm = (ab) xn + m
(5x²y³z) (2y²z²) = (2-5) x²y3 + 2z1 + 2 = 10x²y5z³
4x · (3x²y) = 12x³y
Inndeling av monomer
8 a / 2 a = (8/2). (A / a) = 4
15 ay / 3a = (15/3) (ay) / a = 5 og
12 bxy / -2 bxy = (12 / -2) (bxy) / (bxy.) = -6-6
v2. c. x / -3vc = (-6 / -3) (v2.c. x) / (v. c) = 2 v
Tilsetning og subtraksjon av monomer
Trening: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2
Løsning: 3 × 3 - 4x + 5 - 2 + 2 × 3 + 2 × 2 = 3 × 3 + 2 × 3 + 2 × 2 - 4x + 5-2 = 5 × 3 + 2 × 2 - 4x + 3
